2.7 固有四桁数字の全種数(別算出方法)

 2.1~2.6節で算出した固有四桁数字の全種数を別の方法で算出してみよう。算出方法の基本は2.1節の固有四桁数字の概略数を求めた時に使用した、「‘四則で拾’で同一扱いの四桁数字」をベースにする。改めてそれを以下に掲載しておく。
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 上図は以下の様に見直すことが出来る。
 全ての四桁数字を4数字の構成別に分類すると5グループに分類され、各グループの代表である固有四桁数字(赤字表示)1種類に対してそのグループの全体種類(固有四桁数字と派生四桁数字を合わせた種類)を表している。

 この分類に沿って、固有四桁数字の全種数を算出する。
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ステップ1(図中の①)
 4同数字、3同1異数字、2同2異数字の全グループ・固有四桁数字の種数は上図に詳細を示してあるので本文では説明を割愛する。但し、3同1異数字の場合は同じ2数字で構成される固有四桁数字が2種類(例えば、「1112」と「1222」)あるので注意が必要である。

 1同3異数字と4異数字の場合の全グループ・固有四桁数字の種類を調べるのは難しい。一端、全グループ・全体種類(固有四桁数字と派生四桁数字を合わせた種類)を算出してから、1グループ・全体種類(固有四桁数字と派生四桁数字を合わせた種類)を使って計算する。

ステップ2(図中の②)
 4同数字、3同1異数字、2同2異数字の全グループ・全体種類はステップ1の結果に1グループ・全体種類を掛け算すればよい。
 4同数字の全グループ・全体種類   :10×1=10
 3同1異数字の全グループ・全体種類:90×4=360
 2同2異数字の全グループ・全体種類:45×6=270

 4異数字の全グループ・全体種類は以下の通り。
  4異数字n(abcd)の各桁a,b,c,dはお互いに異なる
   一桁目(a)の種類は0~9     :10種類
   二桁目(b)の種類はaを除く    :9種類
   三桁目(c)の種類はa,bを除く  :8種類
   四桁目(d)の種類はa,b,cを除く:7種類
   4異数字の全グループ・全体種類:
           10×9×8×7=5040種類

 1同3異数字の全グループ・全体種類は1万種から上記4分類の全グループ・全体種類を引き算すればよい。
   10000-(10+360+270)-5040
     =4320

ステップ3(図中の③)
 1同3異数字と4異数字の全グループ・固有四桁数字はステップ2の結果を1グループ・全体種類で割り算すればよい。
   1同3異数字の全グループ・固有四桁数字:
               4320÷12=360
   4異数字の全グループ・固有四桁数字:
               5040÷24=210

ステップ4(図中の④)
 固有四桁数字の全種数は上記の5分類を合計すればよい。
   10+90+45+360+210=715

 以下に全715種類の固有四桁数字を数字構成別に載せる。 
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 固有四桁数字の種類を求めるだけならば本算出方法で良いが、この先第三章以降の議論を進めて行く上でぺ-ジの概念を入れた方が解り易いので、敢えて2.1~2.6節と長々と述べた。
【訂正】
 715種の固有四桁数字を載せた上図中で、固有四桁数字をn<1234>と<>表示しているが正しくはn「1234」です。固有四桁数字を「」表示し、その中で更に‘四則で拾’となる固有四桁数字を<>表示します。上図の715種の固有四桁数字の中には‘四則で拾’となるものと、ならないものが混在しています。
 

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